QC - Kontrollera kvantberäkning med enhetsoperatörer, interferens och sammankoppling

Foto av Sagar Dani

Bra. Vi har precis avslutat del 2 på Qubit (Quantum bit - den grundläggande byggstenen för kvantberäkning). Så hur kan vi kontrollera det? Till skillnad från klassisk datoranvändning tillämpar vi inte logiska operationer eller vanliga aritmetik på qubits. Det finns inget ”medan uttalande” eller ”förgreningssats” i kvantberäkning. Istället utvecklar vi enhetliga operatörer för att manipulera qubits med principen om störningar i kvantmekanik. Ljud fint men faktiskt väldigt enkelt. Vi kommer att undersöka begreppet enhetliga operatörer. Som sidoanteckning kommer vi att undersöka dess förhållande till Schrodinger-ekvationen så att vi inte utformar ett koncept mot naturen. Till sist tittar vi på intrassling, ett mystiskt kvantfenomen.

Kvantgrindar

I klassiska datorer tillämpar vi grundläggande logiska operatörer (INTE, NAND, XOR, OCH, ELLER) på bitar för att bygga upp komplexa operationer. Till exempel är följande en adderare med en bit.

Kvantdatorer har helt olika grundläggande operatörer som kallas kvantgrindar. Vi kompilerar inte ett befintligt C ++ -program för att köras på en kvantdator. Båda har olika operatörer och kvantberäkning kräver olika algoritmer för att dra fördel av dem. Vid kvantberäkning handlar det om att manipulera qubits, fassla dem och mäta dem. Låt oss gå tillbaka till Bloch-sfären. Begreppsmässigt manipulerar kvantberäkningsoperationer Φ och θ i superpositionen för att flytta punkter längs enhetsfärgens yta.

Matematiskt sett manipuleras superpositionen med en linjär operatör U i form av en matris.

För en enda kvbit är operatören helt enkelt en 2 × 2-matris.

Schrodinger Equation (valfritt)

Naturen verkar naivt enkelt! Matte är bara linjär algebra som vi lär oss i gymnasiet. Mellan mätningar manipuleras tillstånd av linjära operatörer som använder matrismultiplikation. Vid mätning kollapsar superpositionen. Ironiskt nog är lineariteten en stor besvikelse för sci-fi-fansen. Detta är en allmän egenskap hos kvantdynamiken. Annars är tidsresor eller resor snabbare än ljus allt möjligt. Om vi ​​börjar med denna linjära operatör (en enhetlig operatör för att vara exakt), kan vi härleda Schrodinger-ekvationen, en hörnsten i kvantmekanik när vi beskriver hur tillstånd utvecklas i kvantmekanik. Från motsatt perspektiv sluter Schrodinger-ekvationen naturens linearitet.

Källa

Här kan vi skriva om Schrodinger-ekvationen som

där H är en hermitisk. Den visar hur stater utvecklas i naturen linjärt.

Ekvationen är linjär, dvs om både ψ1 och ψ2 är giltiga lösningar för Schrodinger-ekvationen,

dess linjära kombination är ekvationens allmänna lösning.

Om | 0⟩ och | 1⟩ är möjliga tillstånd i ett system kommer dess linjära kombination att vara dess allmänna tillstånd - det är principen om superposition i kvantberäkning.

Enhetlig

Vår fysiska värld tillåter inte alla möjliga linjära operatörer. Operatören måste vara enhetlig och uppfylla följande krav.

där U † är det transponerade, komplexa konjugatet av U. Till exempel:

Matematiskt bevarar enhetens operatör normer. Detta är en underbar egenskap för att hålla den totala sannolikheten lika med en efter tillståndsomvandlingen och hålla superpositionen på enhetens sfär.

Om vi ​​tittar på lösningen för Schrodinger-ekvationen nedan följer naturen samma enhetliga regel. H är en hermitisk (det transponerade komplexa konjugatet av en hermitisk är lika med sig själv). Att multiplicera operatören med dess transponerade komplexa konjugat är lika med identitetsmatrisen.

Följande är ett exempel på H där det finns ett enhetligt magnetfält E₀ i z-riktningen.

Användning av enhetsoperationen på | ψ⟩ resulterar i en rotation i z-axeln.

Men vad är den verkliga betydelsen av enhet i den verkliga världen? Det betyder att verksamheten är reversibel. För alla möjliga åtgärder finns det en annan som kan ångra åtgärden. Precis som att titta på en film kan du spela den framåt och naturen tillåter dess motsvarighet U † att spela upp videon bakåt. Du kanske inte märker om du spelar videon framåt eller bakåt. Nästan alla fysiska lagar är tidsföränderliga. Några undantag inkluderar mätningen i kvantdynamik och termodynamikens andra lag. När man utformar en kvantealgoritm är detta mycket viktigt. Den exklusiva ELLER-operationen (XOR) i en klassisk dator är inte reversibel. Information går förlorad. Med en utgång på 1 kan vi inte skilja om den ursprungliga ingången är (0, 1) eller (1, 0).

Vid kvantberäkning kallar vi operatörer som kvantgrindar. När vi designar en kvantport, ser vi till att den är enhetlig, dvs att det kommer att finnas en annan kvantport som kan vända tillståndet tillbaka till det ursprungliga. Detta är viktigt sedan

om en operatör är enhetlig kan den implementeras i en kvantdator.

När enheten har bevisats bör ingenjörerna inte ha problem med att implementera det, åtminstone teoretiskt. Till exempel använder IBM Q-datorer, som består av superledande kretsar, mikrovågspulser med olika frekvens och varaktighet för att kontrollera qubits längs Bloch-sfärens yta.

För att uppnå enhetliga, ger vi ibland en del av ingången för att uppfylla detta krav, som den nedan även den ser överflödig ut.

Låt oss se en av de vanligaste kvantportarna, Hadamard-grinden som den linjära operatören definierar som följande matris.

eller i Dirac-notationen

När vi tillämpar operatören till en up-spin eller down-spin tillstånd, ändrar vi superpositionerna till:

Om det mäts har båda samma chans att snurras upp eller snurras ner. Om vi ​​applicerar grinden igen, går den tillbaka till det ursprungliga tillståndet.

Källa

dvs. det transponerade konjugatet av Hadamard är själva Hadamard-porten.

När vi använder UU † återställs den till den ursprungliga inmatningen.

Därför är Hadamard-porten enhetlig.

Kvantberäkning är baserad på störningar och intrassling. Även om vi kan förstå kvantberäkningen matematiskt utan att förstå dessa fenomen, låt oss visa det snabbt.

Interferens

Vågor stör varandra konstruktivt eller destruktivt. Exempelvis kan utgången förstoras eller plattas beroende på ingångsvågens relativa fas.

Vilken roll är störningen i kvantberäkningen? Låt oss utföra några experiment.

Mach Zehnder-interferometer (källa)

I det första experimentet förbereder vi alla inkommande fotoner för att ha ett polarisationstillstånd | 0⟩. Denna ström av polariserade fotoner delas jämnt av stråldelaren B-läge vid 45 °, dvs att den kommer att delas upp strålen i två ortogonalt polariserade ljus och går ut i separata banor. Sedan använder vi speglar för att reflektera fotonerna till två separata detektorer och mäta intensiteten. Från klassisk mekanikens perspektiv delade fotoner sig i två separata banor och träffar detektorerna jämnt.

I det andra experimentet ovan satte vi en annan stråldelare framför detektorerna. Genom intuition arbetar stråldelarna oberoende av varandra och delar upp en ljusström i två hälften. Båda detektorerna ska upptäcka hälften av ljusstrålarna. Sannolikheten för att en foton når detektorn D₀ med hjälp av 1-vägen i rött är:

Den totala chansen för en foton att nå D₀ är 1/2 från antingen 1-väg eller 0-väg. Så båda detektorerna upptäcker hälften av fotonerna.

Men det stämmer inte med det experimentella resultatet! Endast D₀ upptäcker ljus. Låt oss modellera tillståndsövergången för en stråldelare med en Hadamard-grind. Så för det första experimentet är fotonstillståndet efter splittringen

När det mäts kommer hälften av dem att vara | 0⟩ och hälften av dem kommer att vara | 1⟩. Ljusstrålarna delas jämnt i två olika banor. Så vår Hadamard gate kommer att matcha med den klassiska beräkningen. Men låt oss se vad som hände i det andra experimentet. Som vi tidigare visat, om vi förbereder alla inmatade fotoner för att vara | 0⟩ och överför dem till två Hadamard-grindar, kommer alla fotoner att vara | 0⟩ igen. Så när den mäts, kommer endast D₀ att upptäcka ljusstrålen. Ingen kommer att nå D₁ så länge vi inte utför någon mätning före båda detektorerna. Experiment bekräftar att kvantberäkningen är korrekt, inte den klassiska beräkningen. Låt oss se hur störningar spelar en roll här i den andra Hadamard-porten.

Som visas nedan stör komponenter av samma beräkningsmässiga konstruktivt eller destruktivt varandra för att producera rätt experimentellt resultat.

Vi kan förbereda den ingående fotonstrålen för att vara | 1⟩ och göra om beräkningen igen. Tillståndet efter den första splitteren skiljer sig från det ursprungliga med en fas av π. Så om vi mäter nu kommer båda experimenten att göra samma mätningar.

Men när du applicerar Hadamard-grinden igen, kommer en att producera | 0⟩ och en kommer att producera | 1⟩. Störning ger komplexa möjligheter.

Låt mig göra ett roligare experiment som har en väsentlig betydelse för cybersäkerhet.

Om vi ​​sätter en annan detektor Dx efter den första splitteren visar experimentet att båda detektorerna kommer att upptäcka hälften av fotonerna nu. Stämmer det med beräkningen inom kvantmekanik? I ekvationen nedan, när vi lägger till en mätning efter den första splitteren, tvingar vi en kollaps i superpositionen. Det slutliga resultatet kommer att vara annorlunda än en utan detektorn och matcha det experimentella resultatet.

Naturen berättar att om du vet vilken väg fotonen tar, kommer båda detektorerna att upptäcka hälften av fotonerna. Vi kan faktiskt uppnå det med bara en detektor på en av vägarna. Om ingen mätning görs före båda detektorerna, hamnar alla fotoner i detektor D₀ om fotonen är beredd att vara | 0⟩. Återigen leder intuition oss till fel slutsats medan kvantekvationerna förblir tillförlitliga.

Detta fenomen har en kritisk implikation. Den ytterligare mätningen förstör den ursprungliga interferensen i vårt exempel. Systemets tillstånd ändras efter en mätning. Detta är en av de viktigaste motiven bakom kvantkryptografi. Du kan utforma en algoritm så att om en hacker avlyssnar (mäter) meddelandet mellan dig och avsändaren, kan du upptäcka sådan intrång oavsett hur skonsam mätningen kan vara. Eftersom mätmönstret kommer att vara annorlunda om det avlyssnas. Det icke-klonande teoremet i kvantmekanik hävdar att man inte kan duplicera ett kvanttillstånd exakt. Så hackaren kan inte kopiera och skicka det ursprungliga meddelandet också igen.

Utöver kvantsimulering

Om du är fysiker kan du dra fördel av interferensbeteendet i kvantgrindarna för att simulera samma störning i atomvärldarna. De klassiska metoderna arbetar med sannolikhetsteori med värden större eller lika med noll. Det förutsätter oberoende som inte är sant i experiment.

Kvantmekanismen hävdar att denna modell är fel och introducerar en modell med komplexa och negativa siffror. Istället för att använda sannolikhetsteori använder den interferens för att modellera problemet.

Så vad har det för icke-fysiker? Störningen kan behandlas som samma mekanism som en enhetlig operatör. Det kan enkelt implementeras i en kvantdator. Matematiskt är den enhetliga operatören en matris. När antalet qubits ökar får vi en exponentiell tillväxt av koefficienter som vi kan spela med. Denna enhetliga operatör (störning i ögat av fysiker) tillåter oss att manipulera alla dessa koefficienter i en enda operation som öppnar dörren för massiva datamanipulationer.

Trassel

Generellt tror forskare att kvantealgoritmer utan intrassling inte kan visa överlägsenhet över klassiska algoritmer. Tyvärr förstår vi inte orsakerna väl och därför vet vi inte hur vi skräddarsyr en algoritm för att dra fördel av dess fulla potential. Därför nämns förvirring ofta när man introducerar kvantberäkning men inte mycket efteråt. Av denna anledning förklarar vi vad som är intrassling i det här avsnittet. Hoppas att du är forskaren som bryter hemligheten.

Tänk superpositionen för en 2-qubits.

där | 10> betyder två partiklar i respektive nedåt- och uppspinn.

Tänk på följande sammansatta tillstånd:

Kan vi dela upp det sammansatta tillståndet i två enskilda tillstånd som,

Vi kan inte för det kräver:

Kvantmekanik visar ett icke-intuitivt koncept. I klassisk mekanik tror vi att vi kan förstå hela systemet genom att förstå varje underkomponent. Men i kvantmekanik,

Som visas tidigare kan vi modellera det sammansatta tillståndet och göra mätprognoser perfekt.

Men vi kan inte beskriva eller förstå det som två oberoende komponenter.

Jag föreställer mig detta scenario som ett par som gifte sig i 50 år. De kommer alltid att komma överens om vad de ska göra, men du kan inte hitta svaren när du behandlar dem som separata personer. Detta är ett alltför förenklat scenario. Det finns många möjliga intrasslingsstater

och det blir mycket svårare att beskriva dem när antalet qubits ökar. När vi utför kvantoperationer vet vi hur komponenter är korrelerade (intrasslade). Men innan någon mätning förblir de exakta värdena öppna. Entanglement producerar korrelationer som är mycket rikare och troligen mycket svårare för en klassisk algoritm att härma effektivt.

Nästa

Nu vet vi hur man manipulerar qubits med enhetsoperationer. Men för de som är intresserade av kvantealgoritmer bör vi veta vad som är begränsningen först. Annars kan du förbise vilka saker som är svåra vid kvantberäkning. Men för dem som vill veta mer om kvantporten först, kan du läsa den andra artikeln innan den första.