Hur vet vi att alla elektroner är identiska? Del 2

I del 1 gick jag över Gibbs-paradoxen, en paradox från statistikmekaniken i slutet av 1800-talet, vars upplösning antydde att partiklar måste vara identiska och inte urskiljbara på någon nivå. Detta var den första ledtrådan och fick några människor att tänka på frågan - men det var egentligen inte det sista ordet.

I del 2 kommer jag att slutföra min förklaring av hur fysiker vet att alla elementära partiklar (som elektron) är identiska genom att gå ner i kvantmekanik, ett fascinerande fysikområde som upptäcktes och utvecklades under de första tre decennierna av det 20: e århundradet (1900-1930). Det bör vara fullt möjligt att läsa del 2 utan att läsa del 1; även om de båda har att göra med varför partiklar är identiska, är båda fristående och varken beroende av den andra. Del 1 är i princip förklaringen som kunde förstås ungefär 1900, medan del 2 är förklaringen som förstås av 1930 - efter att kvantmekaniken hade avslutats.

I klassisk statistikmekanik kan du representera de olika möjligheterna för ett systems tillstånd genom sannolikheter. Om du till exempel känner till temperaturen och trycket på en gas finns det en statistisk fördelning (kallas en "sannolikhetsdensitetsfunktion") för de olika partiklarna som bildar gasen. Dessa partiklar studsar slumpmässigt runt. Vid hög temperatur är det mer troligt att du hittar en enskild gasmolekyl som rör sig snabbt; vid låg temperatur är det mer troligt att du hittar en enskild gasmolekyl som rör sig långsamt. Men i vilket fall som helst finns det en hel rad möjligheter.

I kvantmekanik är det samma, men det blir lite mer komplicerat. Sannolikhetsdensitetsfunktionen i kvantmekanik ges av kvadratet med storleken på en komplex funktion som kallas ”vågfunktionen”. Med komplex menar jag istället för en funktion av verkliga siffror (x = 1, 2, 3.4, 9.8, etc.), det är en funktion av komplexa siffror, som var och en har en verklig och en imaginär del (z = 1 + i, 2 + 3,5i, 4,8 + 9i, etc.) Om du aldrig har stött på detta tidigare, är jag säker på att det låter riktigt konstigt. Men jag kan inte säga mycket mer annat än: det här är hur kvantmekanik fungerar - det är ganska konstigt!

Så till exempel, om vågfunktionen för en elektron är 1 / √2 i position x och 1 / √2 i position y, då när du kvadraterar dessa får du sannolikheter: chansen att den hittas i position x är 1/2 och chansen att den hittas på y är också 1/2. Så du har fått en 50/50 bild om du letar efter den på någon av platserna.

Hittills är detta fortfarande identiskt med klassisk statistikmekanik. Om du ville, kan du också bara representera sannolikhetsdensitetsfunktionen i klassisk fysik av kvadratroten av sig själv överallt, och ingenting skulle förändras. Skillnaden är att i kvantmekanik fungerar vågfunktionen mindre som en mental abstraktion och mer som en faktisk fysisk våg, genom att den kan uppvisa störningar.

Mörka och ljusa interferenskanter

Klassiskt stör inte sannolikhetsvågor varandra. Sannolikhet är alltid ett positivt tal, så om två olika partiklar av en gas vardera har en sannolikhet p för att hittas på plats x, så är sannolikheten att hitta någon av dem där bara 2p. Klassiskt lägger sannolikheten för att olika händelser sker (eller att olika mätresultat uppstår) alltid till varandra, det subtraheras aldrig.

Men inom kvantmekanik är det själva vågfunktionen (snarare än dess kvadrat) som fungerar som en våg. Och eftersom vågfunktionen i varje punkt kan vara vilket som helst komplext antal (inklusive positiva eller negativa verkliga siffror), ibland när du kombinerar olika möjligheter lägger sannolikheterna till men andra gånger drar de bort! När subtraktion inträffar - till exempel om sannolikheten för två olika händelser helt upphör att göra det omöjligt för någon av dem att hända - kallas det kvantinterferens.

Låt oss anta att vi har två elektroner och att det bara finns två platser där varje elektron kan hittas, plats x eller plats y. Om de två elektronerna var urskiljbara, kan vi märka dem "elektron A" och "elektron B" och detta skulle innebära att det finns fyra möjliga tillstånd som 2-elektronssystemet kan vara i. Antingen är både A och B på x, båda är vid y, A är vid x och B är vid y, eller B är vid x och A är vid y. För att sammanfatta har vi AB = xx, yy, xy eller yx. En vanlig notering för att representera tillstånd som denna i kvantmekanik är att använda vinkelfästen: | xx>, | yy>, | xy> och | yx>.

Men vetenskaplig forskning på 1920-talet visade ett förvånande faktum: ett system med två elektroner som detta kan inte vara i fyra olika tillstånd, det finns bara en möjlig tillstånd det kan vara i!

En del av anledningen till det borde du kunna gissa: om det inte finns något sätt att skilja elektron A från elektron B, så är tillstånd | xy> och | yx> identiska. De är bara två olika sätt att representera samma fysiska tillstånd. Hursomhelst finns det en elektron i position x och 1 i position y.

Men det lämnar oss fortfarande med tre tillstånd, inte 1 - vad är fel med att ha ett tillstånd som | xx> där båda elektronerna är i position x, eller | yy> där båda är i position y? Det visar sig att mer än 1 elektron aldrig kan uppta samma tillstånd. 1925 föreslog Wolfgang Pauli denna princip - nu känd som Pauli-uteslutningsprincipen - och 1940 kunde han bevisa med hjälp av kvantfältteori att den inte bara gäller elektroner utan alla partiklar av en viss typ (de med halva heltal snurr - elektroner har snurr 1/2).

Wolfgang Pauli

Det skulle ta mig för långt ifrån ämnet för att ge en fullständig förklaring av vad spin finns i det här inlägget (om du vill veta mer, uppmuntras du att läsa min förklaring om spin-1/2 här på Quora, som de just meddelade mig skickades ut till över 100 000 människor igår). Men det visar sig att alla kvantpartiklar ingår i en av två kategorier: fermioner eller bosoner. Fermions har halvheltalsspinn och följer Pauli-uteslutningsprincipen, medan bosoner har heltalssnurr och inte.

Fermions tenderar att ha mer "materia-liknande" egenskaper. Till exempel är elektroner, protoner och neutroner alla spin-1/2 fermioner. Det är det som utgör byggstenarna av materien (atomer, molekyler, etc.) Du kanske har hört någonstans eller annat att materien inte kan uppta samma utrymme på samma gång. Detta beror delvis på Pauli-uteslutningsprincipen (liksom elektrostatisk avstötning mellan olika atomer).

Bosoner tenderar att ha mer "strålningsliknande" egenskaper. Till exempel är fotoner - de partiklar som är ansvariga för ljus och annan elektromagnetisk strålning (radiovågor, mikrovågor, wifi, UV, röntgenstrålar, gammastrålar, etc.) - spin-1-bosoner. Higgs-boson som upptäcktes vid LHC 2012 är en spin-0-boson. Och de flesta teoretiska fysiker tror att tyngdkraften förmedlas av en spin-2-boson som kallas graviton, även om detta ännu inte har upptäckts i ett laboratorium.

Pauli-uteslutningsprincipen är inte bara en axiomatisk regel, det är en slutsats som kan härledas från våra bästa grundläggande teorier om fysik. I själva verket kräver det både Einsteins teori om speciell relativitet i kombination med kvantmekanik för att fullt ut härleda Pauli-uteslutningsprincipen som en slutsats. På grund av hur rotationen fungerar tvingas vågfunktionen hos 2 bosoner alltid vara "symmetrisk" medan vågfunktionen för 2 fermioner alltid tvingas vara "antisymmetrisk".

I detta sammanhang betyder symmetrisk helt enkelt att om du byter platser för två bosoner så händer ingenting - du får tillbaka exakt samma tillstånd. Antisymmetrisk betyder något liknande men inte riktigt: om du byter platser för två identiska fermioner får du tillbaka samma tillstånd men med ett minustecken framför.

Kvantmekanik utförs i en typ av vektorrum som kallas ”Hilbert-rymden” där varje gång du har två tillstånd finns det ett annat tillstånd som kan bildas av dem genom att lägga till dem i en ”linjär kombination”. Om till exempel | xy> och | yx> är båda tillstånden i Hilbert-utrymmet, är | xy> + | yx> också ett tillstånd i samma Hilbert-utrymme. Och så är | xy> - | yx> eller någon annan linjär kombination som 3 | xy> -2 | yx>. Detta sätt att kombinera tillstånd i kvantmekanik kallas "superposition". Istället för att definitivt vara på en plats eller definitivt vara på en annan har elektronen en chans att vara på en och en chans att vara på den andra.

Eftersom dessa tillstånd representerar en kvantvågfunktion, och jag nämnde tidigare att kvadratet för storleken på en kvantvågfunktion är en sannolikhetsfördelning, måste tillstånden normaliseras på ett sådant sätt att den totala sannolikheten för att elektron som finns någonstans lägger till till 100% (eller 1). Därför måste koefficienterna i de linjära kombinationerna ovan delas med en total faktor för att normalisera dem.

Kombinera detta med kravet att fermioniska vågfunktioner alltid måste vara antisymmetriska, det betyder att det enda tillståndet som dessa 2 elektroner kan vara i (förutsatt att det bara finns två möjliga platser för dem) är 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (Eller samma sak multiplicerad med ett komplext antal med storlek 1, vilket är fysiskt ekvivalent.) Om vi ​​byter ut x och y i detta får vi 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> vilket är exakt -1 gånger det ursprungliga tillståndet. Matematiskt är detta ett annat tillstånd i Hilbert-rymden, men fysiskt betyder det samma sak. Om du kvadrerar 1 / √2-koefficienterna säger det att det finns en 1/2 chans att elektron A är vid x och elektron B är vid y, och en 1/2 chans att elektron B är vid x och elektron A är vid y. 50/50

Vad vi gjorde är att ta två stater som är fysiskt omöjliga att skilja sig - | xy> och | yx> och bildade en superposition av dem som har denna antisymmetriska egenskap som krävs av fermioner. Men hur är det med staterna | xx> och | yy>? Dessa kan aldrig göras antisymmetriska, eftersom byte av x med x eller y med y inte förändrar någonting. Eftersom det är intressant symmetriska tillstånd kan de bara inte existera för fermioner - de gäller bara bosoner.

Som ni kanske gissat betyder det att för bosoner finns det tre möjliga tillstånd som de kan existera i istället för bara 1. För 2 fotoner som kan vara på plats x eller plats y, är de 3 olika tillstånden de kan vara i | xx> , | yy>, eller 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - som alla är perfekt symmetriska om du byter ut x och y. (Inget minustecken.)

Sammanfattningsvis har ett par urskiljbara partiklar som kan vara på två olika platser 4 möjliga tillstånd de kan vara i. Medan ett par fermioner har endast ett möjligt tillstånd, och ett par bosoner har 3 möjliga tillstånd. Detta leder till mycket olika statistiska beteenden för fermioner och bosoner, och förklarar varför många av egenskaperna hos de två typerna av partiklar är så olika.

I ett tidigare inlägg av mig berättade jag historien om hur Max Plancks undersökning av entropi i slutet av 1800-talet ledde till den första upptäckten av kvantmekanik. Under samma tidsperiod fanns det redan en stor ledtråd som funnits ett tag - ett känt pussel rörande Maxwell och Boltzmanns version av termodynamik (som senare blev känd som statistisk mekanik). Med hjälp av lagen om utrustning förutspådde klassisk termodynamik fel värmekapacitet för många gaser vid låga temperaturer.

En "värmekapacitet" är den mängd värme något kan ta upp tills dess temperatur har höjts med en fast mängd (vanligtvis 1 grad Celsius). Vissa gaser kan absorbera mycket värme (termisk energi) utan att höja temperaturen mycket. För andra kommer exponering för endast en liten mängd värme att skicka termometern till höjningen. Teorin bakom detta, enligt Maxwell och Boltzmann, var att vissa gaser är bättre på att absorbera och lagra värmeenergi än andra eftersom de har ett större antal inre frihetsgrader - dessa "frihetsgrader" fungerar effektivt som behållare inom vilka energi kan lagras. Utrustningsteoremet (föreslaget av Maxwell och sedan bevisat mer allmänt av Boltzmann) säger att i jämvikt kommer varje gas (eller vätska eller fast substans) att ha en total intern energi på 1/2 NkT. Där N är antalet frihetsgrader i den gasen, är T temperaturen på gasen och k är bara Boltzmanns konstant. Med andra ord kommer gasen att ha 1/2 kT värmeenergi per frihetsgrad.

Om vi ​​till exempel har en gas av monatomiskt väte (monatomiskt betyder att varje molekyl är en enda atom), har varje atom 3 frihetsgrader eftersom den kan röra sig i en av tre riktningar: upp eller ner, vänster eller höger, och bakåt och framåt (3 riktningar eftersom vi bor i ett tredimensionellt utrymme). Termisk energi kan absorberas av en väteatom genom att öka dess kinetiska energi i någon av dessa tre oberoende riktningar.

Bildkredit: astarmathsandphysics.com

Å andra sidan, om vi har en gas av diatomiska väte-molekyler (diatomiska betyder att varje molekyl är sammansatt av 2 atomer förbundna med en kemisk bindning) så finns det fler grader av frihet (möjliga sätt på vilka varje molekyl i gasen kan röra sig) . Förutom friheten att röra sig linjärt i någon av tre dimensioner har den också friheten att rotera längs endera av två olika axlar.

Även om 75% av ämnet i universum i massa är monatomiskt väte, är det mesta av väte på jorden diatomiskt väte. Det beror på att väte endast är monatomiskt vid de extremt höga temperaturerna och trycket som finns i stjärnor (som solen). Under temperaturintervallet som finns nära jordens yta, kopplas väte naturligt upp till dess diatomiska fas. Men det som verkade konstigt på 1800-talet är att beroende på den exakta temperaturen kan diatomiskt väte ha olika värmekapaciteter.

Bildkredit: Hyperfysik

Vid rumstemperatur har väte en värmekapacitet per molekyl på nära 5/2 k (eller om det är per mol istället för per molekyl, skrivs detta som 5/2 R som i diagrammet). Enligt Maxwell och Boltzmanns syn på termodynamik innebär detta 5 frihetsgrader (faktiskt 7, om du inkluderar ytterligare två grader av frihet för vibrationer). Men det exakta värdet vid rumstemperatur är cirka 2,47k. Och när gasen kyls ner till under 0 Celsius (273K), sjunker den gradvis från 2,47k hela vägen för att så småningom sätta sig på 1,5k. Men 3/2 k skulle innebära att den bara har 3 frihetsgrader - med andra ord, att det är en monatomisk gas! Varför skulle kallare väte bli en monatomisk gas vid låga temperaturer? Och vad betyder det att ha ett värde mellan 3 och 5 frihetsgrader? Värmekapaciteten skulle vara oberoende av temperaturen. Det fanns liknande kända problem med den uppmätta värmekapaciteten för syre och kvävgas.

Det fanns många föreslagna förklaringar till detta pussel på 1800-talet, men ingen förstod det fulla svaret förrän utvecklingen av kvantmekanik. Det fullständiga svaret är att sätten på vilka rotationsgrader av frihet kan upphetsas i molekyler kvantifieras. Klassiskt kan något rotera med vilken hastighet som helst, oavsett hur långsamt - så någon mängd energi, oavsett hur liten, kan starta något som roterar. Men i kvantmekanik kvantifieras vinkelmomentet så att rotationer bara kan ske i vissa diskreta steg. Antingen börjar en molekyl rotera snabbt, eller inte alls - det finns inget däremellan. På grund av detta är den genomsnittliga mängden energi som byts ut mellan slumpmässiga kollisioner av molekyler vid låga temperaturer bara för liten för att väcka dessa frihetsgrader. Vid låga temperaturer är vätgas fortfarande diatomiskt men de 3 translatoriska frihetsgraderna är de enda som kan upphetsas - det finns bara inte tillräckligt med energi för att molekylerna ska rotera. När temperaturen når upp över en viss tröskel blir de typiska energierna i kollisioner tillräckliga för att väcka rotationer. Ju högre temperatur, desto större är sannolikheten för energier tillräckligt höga för att orsaka rotationer; därför stiger värmekapaciteten gradvis upp till nivån på vad man hade förväntat sig för något som består av molekyler med 5 frihetsgrader. Om du fortsätter att höja temperaturen ytterligare blir det så småningom tillräckligt varmt för att väcka vibrationer (föreställ att bindningen mellan atomerna är som en fjäder, sträcker sig och komprimerar omväxlande), som det visade sig också kvantifierades. Vid mycket heta temperaturer har diatomiska gaser 7 tillgängliga grader av frihet, vilket är vad du skulle tro att var sant vid alla temperaturer klassiskt. Kvantmekanik ger en liknande förklaring till värmekapaciteten för syre och kväve.

Einstein föreslog 1906 att kvantisering skulle kunna lösa denna uppenbara konflikt mellan Maxwell och Boltzmanns lag för utrustning och de experimentellt uppmätta kurvorna för de specifika värmena hos diatomiska gaser. Och hans hypotes bekräftades 1910 av Nernst när han mätte de specifika värmarna för olika gaser till större noggrannhet och fann att de stämmer med Einsteins teoretiska förutsägelser. Detta var ett av de allra första experimentella testerna av tidig kvantmekanik, och det passerade!

Men när man kommer tillbaka till identiska partiklar finns det ett annat sätt på vilket en kvantmekanisk teori om gaser skiljer sig väsentligt från den gamla klassiska teorin om gaser på 1800-talet.

Om de enskilda partiklarna i en gas var urskiljbara, då när du kyler ned gasen till absolut noll skulle de alla gå ner i marktillståndet - oavsett vilket tillstånd deras har den lägsta energin. Vanligtvis skulle du tro att marktillståndet är ett där varje partikel är helt i vila och det inte finns någon kinetisk energi, rotationsenergi eller någon annan typ av rörelse eller intern energi.

Men för en gas av fermioner leder deras åtskillnad till Pauli-uteslutningsprincipen som förbjuder mer än en identisk partikel att gå in i samma tillstånd. Därför kan de inte alla vara i marktillståndet. Ofta representeras energinivåerna som en partikel kan uppta av ett stege diagram, där varje energinivå är en annan spets på stegen. Vanligtvis finns det också "degeneration", där flera tillstånd har exakt samma energi - i vilket fall de kan representeras av samma ring på stegen så länge vi håller reda på det faktum att det finns degeneration (flera tillstånd) på det ringt.

Vad som händer när en gas av fermioner (även känd som en Fermi-gas) kyls ner till absolut noll är att varje tillstånd av en given energi fylls, börjar med marktillståndet och går vidare uppför stegen tills alla partiklar i gasen redovisas och har ett slag. Återigen, på grund av degeneration, kan flera partiklar vara på samma gång. Men så länge degenerationen är liten jämfört med det totala antalet partiklar, betyder det fortfarande att massor av spolar kommer att fyllas. När du fyller på alla spolarna med partiklar kallas den högsta energinivån som fylls "Fermi energy".

År 1910, samma år som Nernst bekräftade kvanteteorin om värmekapacitet för diatomiska gaser, upptäcktes en ny typ av stjärna av astronomer. År 1922 fick den namnet en "vit dvärg", men redan 1910 märkte astronomer att det skilde sig från vanliga stjärnor och hade några ganska konstiga egenskaper. Det förbryllande med denna typ av stjärna var att det verkade alldeles för tätt för klassisk fysik för att förklara hur den kunde lysa.

Sirius B (den lilla pricken) är den närmaste vita dvärgstjärnan

Massan hos en vit dvärg liknar solens massa, och ändå är hela den massan packad i en liten boll som typiskt har ungefär samma storlek som jorden. Att betrakta solen är ungefär 333 000 gånger så massiv som jorden, det betyder att det är en extremt tät typ av materia. På den tiden var det mycket tätare än vad fysiker någonsin sett eller hört talas om, även om stjärnor skulle förbränna gaser av joner (även känd som plasma), inte fast material. Om det var någon form av extremt tät fast substans, varför skulle det alls lysa?

Det visade sig att det verkligen var en plasma, inte ett fast ämne. Men det var verkligen tätt. Ingen klassisk teori om gaser kan förklara hur en gas kan vara så tät och inte bara kollapsa på sig själv på grund av sin egen tyngdkraft. 1926 förklarade RH Fowler korrekt med kvantmekanikens matematik att vita dvärgar faktiskt är Fermi-gaser snarare än klassiska gaser.

Med andra ord är en vit dvärg en gas av identiska fermioner. Specifikt är det en gas av elektroner. Vid höga temperaturer och låga tryck uppträder en gas av elektroner inte annorlunda än en vanlig klassisk gas. Det spelar ingen roll att de enskilda elektronerna är identiska eftersom det finns många fler tillstånd än det finns elektroner. De har en stor volym att röra sig i, och många olika slags sätt de kan röra sig eftersom temperaturen är tillräckligt hög. Men kyl ner samma gas tillräckligt, eller höj trycket så att det packas i en tillräckligt liten volym, och sedan börjar elektronerna pressas in i samma tillstånd. Förutom att de inte kan gå in i exakt samma tillstånd på grund av Pauli-uteslutningsprincipen. Så de fyller bara staterna ungefär till Fermi-energin och stannar.

Om det var urskiljbara partiklar, måste de alla gå i samma tillstånd och energin skulle i huvudsak vara noll - ingen rörelse i marktillståndet. Men eftersom de är fermioner, finns det ett "degenerationstryck" som hindrar dem från att gå in i samma tillstånd och undvika att hela saken kollapsar på grund av allvar. Statistiken över hur fermioner i denna situation uppför sig kallas "Fermi-Dirac-statistik", som bara liknar klassisk "Maxwell-Boltzmann-statistik" i gränsen för höga temperaturer och låga tryck. Statistik i detta sammanhang hänvisar till vad som är troligt att varje partikel kommer att ha en given energi vid jämvikt, som en funktion av temperaturen. Eller ett annat sätt att säga det: vad är det förväntade antalet partiklar som finns på varje energinivå för ett system efter att det når jämvikt?

Du kan härleda statistik från Maxwell-Boltzmann genom att räkna hur många olika unika tillstånd partiklarna kan uppta med hjälp av kombinatorik och sedan ta reda på var denna fördelning av tillstånd når ett maximalt (representerar också maximal entropi, alias jämvikt). För lägre energier är degenerationen generellt lägre så det finns inte så många stater. Men om energin från en enskild partikel är för hög, minskar den mängden energi som återstår för att fördelas mellan de andra partiklarna vilket resulterar i färre möjliga kombinationer. Så det finns en balans, ett jämviktstillstånd, där hela systemet har maximal entropi när tillstånden för en given energi är fyllda med ett förväntat antal partiklar N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). K_i är degenerationen; det representerar hur många stater som är på en given energinivå E_i. Faktorn för e ^ (- E_i / kT) (där k är Boltzmann-konstanten och T temperaturen) är känd som en "Boltzmann-faktor". Boltzmann-faktorn betyder att när vi rör oss uppför stegen av energinivåer blir antalet partiklar som upptar varje spår exponentiellt mindre och mindre (även om det finns mer och mer utrymme för dem på grund av degenerationen). Men temperaturen styr hur snabbt denna exponentiella faller av. Den grekiska symbolen µ i e ^ (E_i-µ) / (kT) kallas "kemisk potential" och är obetydlig för närvarande, men den representerar hur mycket den totala energin i ett system skulle öka om en extra partikel tillsattes till den . (För många system är µ 0 eller ungefär 0 så det är ofta inte ens med).

Så länge gasen är tillräckligt sparsom att vi inte behöver oroa oss för att två olika partiklar upptar samma tillstånd (de förväntade N_ierna i alla stater är mindre än 1), fungerar samma härledning bara bra för fermioner eller för bosoner - det spelar ingen roll, båda leder till samma Maxwell-Boltzmann-statistik. Men om du tänker på fallet där gasen är väldigt tät eller vid tillräckligt låg temperatur, så spelar det plötsligt mycket om partiklarna är fermioner eller bosoner (eller varken, som faktiskt inte händer i naturen men kan föreställas) . För fermioner är det förväntade antalet partiklar som upptar varje energinivå när du räknar tillstånden och finner deras maximalt N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) - det är vad som kallas Fermi-Dirac-statistik. För förhållandena med hög täthet i vita dvärgstjärnor, eller låga temperaturförhållanden i andra Fermi-gaser, blir den kemiska potentialen µ viktig och den är ungefär densamma som Fermi-energin som diskuterats tidigare (och för noll temperatur är den exakt densamma). Observera att den enda skillnaden mellan Maxwell-Boltzmann-statistik och Fermi-Dirac-statistik är ”+1” i Fermi-Dirac-formeln. En så liten skillnad, och ändå har den en så stor effekt på hur saken uppför sig!

Vad sägs om bosoner? De följer inte Pauli-uteslutningsprincipen, så skulle en gas av bosoner inte verka annorlunda än en vanlig klassisk gas? Nope, bosoner har sin egen uppsättning statistik som de följer känd som ”Bose-Einstein-statistik”, vilket skiljer sig från både Maxwell-Boltzmann- och Fermi-Dirac-statistiken.

Trots att de inte följer Pauli-uteslutningsprincipen skiljer sig fortfarande identiska bosoner från urskiljbara partiklar eftersom kombinationskrafterna fortfarande är olika. Kommer du ihåg det när vi diskuterade kvanttillstånd i ett Hilbert-utrymme? För ett par identiska bosoner som var och en med bara två tillgängliga tillstånd såg vi att paret bara har tre möjliga tillstånd de kan vara i istället för de fyra du kan förvänta dig om de var urskiljbara. Generaliseringen av detta är att för en uppsättning av N identiska bosoner med K tillgängliga tillstånd finns det "N välj K-1" = (N + K-1)! / N! / (K-1)! olika unika tillstånd de kunde vara i, istället för K ^ N för urskiljbara partiklar. (Där är! Markeringarna naturligtvis matematiska faktorsymboler som i del 1.) Du kan enkelt kontrollera att detta fungerar för mitt ursprungliga exempel där N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 -1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Tillåter varje energinivå att ha ett annat antal degenererade tillstånd K_i, måste formeln utvidgas till en produkt av en mängd faktorer var och en av formen (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (samma sak som ovan, bara med jag-abonnemang på dem för att skilja de olika energinivåerna E_i). Efter att ha använt kalkylen för att hitta det maximala av detta uttryck, kan det resulterande jämviktstillståndet identifieras som det där det finns N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) partiklar i varje energinivå E_i. Detta är formeln för Bose-Einstein-statistik. Observera, den enda skillnaden mellan denna och Fermi-Dirac-formeln är att +1 nu är -1! Detta gör att alla tre är lättare att komma ihåg. Även om vanligtvis för bosoner är µ 0 för att de enkelt kan skapas eller förstöras - till exempel bevaras inte fotonummer i vårt universum, så de kan visas och försvinna utan kostnad vid behov.

Formeln för Einstein-Bose-statistik upptäcktes av en indisk fysiker vid namn Satyendra Nath Bose, ett år eller två innan Fermi-Dirac-statistik upptäcktes och tillämpades på vita dvärgar. Historien om hur han kom över den är fascinerande. Han höll en föreläsning 1924 i Brittiska Indien (inom det som nu kallas Bangladesh) om ”ultraviolett katastrof”. Den ultravioletta katastrofen var namnet som gavs i början av 1900-talet till problemet att ingen visste hur man fullt ut skulle hämta Plancks formel för strålning av svartkroppar från statistisk mekanik, som jag diskuterar långt i vad som hittills är mitt mest populära stycke på Medium (berättelsen av hur Planck snubblat över kvantmekanik genom att studera entropi).

Planck hade haft rätt när han påpekade att nyckeln var att anta att energi på något sätt kvantifierades, men han hade inte lyckats komma med ett perfekt rent härledande helt från de första principerna, utan att inkludera några ad hoc-antaganden om vibrationslägen inuti ugnar. Bose genomgick processen att demonstrera för publiken varför du börjar med de grundläggande kombinationerna av tillstånd och energinivåer, du hamnar med fel formel. Förutom att i slutet hände ett konstigt mirakel - han förvånade sig själv och alla genom att på något sätt av misstag hamna i rätt formel. Han tittade tillbaka genom vad han hade gjort och insåg att han hade gjort ett misstag - när han räknade upp staterna hade han räknat dem på ”fel” sätt. Han hade av misstag behandlat fotonerna som om de alla var identiska och utbytbara istället för att urskiljas som tidigare antogs. Efter att ha tänkt på detta mer insåg han att han kanske var på något - kanske var det egentligen inte ett misstag trots allt. Han visste inte vem mer att berätta om det, så han bestämde sig för att skriva ett brev till Albert Einstein. Einstein var omedelbart mycket upphetsad och hjälpte honom att publicera ett papper om det.

Satyendra Nath Bose

Så den första nyckeln till att reproducera Plancks formel var att ljus kvantiseras i enskilda energipaket som nu kallas fotoner. Men den andra stora nyckeln var att dessa fotoner inte har någon individuell identitet. Bortsett från att vissa har annan energi och fart än andra är de alla identiska. I efterhand har detta gjort mycket av Boltzmann och Gibbs tidigare arbete med statistisk mekanik mer vettigt. Det hade funnits en faktor N! kastas in i ekvationerna för att få Maxwell-Boltzmann-distributionen att fungera rätt, och för att se till att entropin skalas ordentligt med volym. Gibbs var medveten om att detta hade något att göra med att behandla partiklarna som om de var utbytbara, men ingen ägde stor uppmärksamhet åt det eller hade verkligen tagit det till hjärtat. Innan Bose antog i allmänhet fortfarande alla att partiklar skulle kunna urskiljas från varandra på någon nivå åtminstone i princip.

Boses framgångsrika misstag i Bangladesh gjorde det möjligt för hela fysiken att sätta spiken i kistan för tanken att kvantpartiklar var och en har sin egen identitet. Om de hade gjort det, hade det funnits fler tillstånd och vi skulle fortfarande ha en ultraviolett katastrof på våra händer - termodynamiken hos urskiljbara fotoner skulle aldrig ha kunnat reproducera den svarta kroppsstrålningen som har observerats i svarta kroppsugnar sedan slutet av 1800-talet. Vi skulle inte heller kunna förklara varför solen eller andra ljuskällor inte strålar ut en oändlig mängd energi.

Och det - mina vänner - är historien om hur vi fick veta att alla elektroner är identiska!

Klicka på klappknappen om du hittade detta informativt, tack :-)